Matematika Keuangan

Dalam materi matematika keuangan dikenal pula dgn perumpamaan keuangan kuantitatif yg merupakan suatu bidang matematika terapan, yg berafiliasi dgn pemodelan matematika dr pasar keuangan.

Dilihat dr segi praktik, matematika keuangan bertumpuk pada bidang keuangan perkiraan atau yg pula diketahui dgn sebutan rekayasa keuangan.

Meski demikian, hal tersebut apat dikatakan sama, kejuteraan keuangan terkonsentrasi dlm aplikasi, sedangkan pada matematika keuangan terkonsentrasi ada pada model & pengadaan.

Di dlm materi matematika keuangan yg akan kita bahas adalah bunga tunggal, bunga beragam, rente, anuitas, angsuran, penerapan anuitas pada obligasi, serta penyusutan. Informasi selengkapnya, simak pembahasan selengkapnya mengenai Matematika Keuangan berikut ini.

Bunga Tunggal

Apabila diketahui kalau bunganya yaitu suatu suku bunga tunggal, maka dlm menghitung modal final bisa kita hitung dgn menggunakan rumus mirip di bawah:

M = Mo (1+n.i)

Keterangan:

• M = merupakan Modal selesai
• Mo = merupakan Modal awal
• n = merupakan Lama (waktu) peminjaman
• i = merupakan presentase suku bunga (bunga tunggal)

Sebagai acuan:

Hitunglah jumlah modal akhir dr modal sebesar Rp.10.000.000,- yg akan dipinjamkan selama 3 tahun dgn suku bunga tunggal 1% pada setiap triwulanya.

Jawab:

Sebab di atas tertera bunga akan diberikan pada setiap triwulannya maka;

n = 3 thn/ 3 bulan

= 3.12/ 3

= 36/3

= 12

Sehingga, selama 3 tahun akan berjalan 12 kali pembayaran bunga.

Makara besarnya modal simpulan ialah sebesar:

M = Mo (1+n.i)

= 10.000.000 (1+ 12. 1%)

= 10.000.000 + 10.000.000 (12%)

= 10.000.000 + 1.200.000

= 11.200.000

Sehingga, besarnya modal selesai selepas 3 tahun yaitu Rp.11.200.000,-

• Bunga tunggal dihitung & digunakan dlm tata cara dukungan & permodalan

Bunga merupakan jasa dr dukungan.

Suku bunga= bunga/(perlindungan mula-mula) x 100%

Sebagai contoh:

Gilang hendak meminjam uang dr Koperasi sejumlah Rp.1.000.000,00. Sesudah satu bulan, maka Gilang mesti mengembalikan modal sekaligus bunganya dgn jumlah Rp.1.020.000,00.

Maka tentukan besarnya bunga serta suku bunganya!

Jawab:

Bunga = Rp.1020.000,00 – Rp.1.000.000,00 = Rp.20.000,00, sehingga;

suku bunga= 20.000,00/1.000.000,00 x 100%=2%

Bunga tunggal merupakan bunga yg ditemukan di setiap tamat jangka waktu tertentu yg tak akan mensugesti besarnya modal yg dipinjam.

Perhitungan bunga pada masing-masing periode senantiasa dijumlah menurut besarnya modal yg tetap.

Rumus bunga yg sering digunakan adalah:

B = i x t x M

Keterangan:

• B = merupakan bunga
• i = merupakan suku bunga tiap periode
• t = merupakan banyaknya periode
• M = merupakan modal

Sebagai pola:

Ssebuah modal sebesar Rp.1.000.000,00 kemudian dibungakan dgn suku bunga tunggal 2%/bulan. Maka hitunglah besarnya bunga sehabis kurun waktu 5 bulan ?

Jawab:

M = Rp.1.000.000,00

i = 2%/bulan

t = 5 bulan

besar bunga = 2% x 5 x Rp.1.000.000,00 = Rp.100.000,00

Sehingga, besarnya bunga selama kurun waktu 5 bulan yaitu Rp.100.000,00.

Bunga Majemuk

Di dlm materi matematika keuangan, dlm memilih modal simpulan apabila bunganya yaitu bunga majemuk, maka mampu kita pakai dua cara atau metode, antara lain yaitu:

Apabila harga n lingkaran

Apabila harga n bundar maka rumus yg dipakai dlm mencari modal selesai merupakan:

M = Mo (1+i)2

Keterangan:

• M = merupakan modal simpulan
• Mo = merupakan modal awal
• n = merupakan usang (waktu) peminjaman
• i = merupakan presentase suku bunga (bunga beragam)

Sebagai acuan:

Hitunglah jumlah modal akhir dr modal sebesar Rp.10.000.000,- yg telah dipinjamkan selama kurun waktu 2 tahun dgn suku bunga majemuknya 2% pada setiap tahunya.

Jawab:

M = Mo (1+i)2

M = 10.000.000 (1 + 12%)2

= 10.000.000 + (1 + 0,02)2

= 10.000.000 + 1.404.000

= 11.404.000,-

Sehingga, dimengerti selepas kurun waktu 2 tahun modal final akan menjadi Rp.11.404.000.

• Bunga majemuk dihitung serta dipakai dlm tata cara sumbangan & permodalan

Perhatikan baik-baik ilustrasi yg ada di bawah ini:

Apabila a menyimpan uang pada sebuah Bank, kemudian pada setiap final periode, bunga yg didapatkan tersebut tak diambil.

Maka bunga tersebut akan bantu-membantu modal menjadi modal baru yg akan berbunga di periode selanjutnya.

Bunga yg didapatkan nilainya akan lebih besar dr bunga pada periode sebelumnya.

Rumus yg sering dipakai dlm menentukan bunga beragam dlm tata cara perlindungan & permodalan yaitu:

M_n=M〖(1+i)〗^n

Keterangan:

• Mn = merupakan modal pada periode ke-n (Modal final)
• M = merupakan modal permulaan
• i = merupakan suku bunga
• n = merupakan periode

Sebagai contoh:

Modal sejumlah Rp.5.000.000,00 akan dibungakan dgn bunga beragam 10%/tahun. Hitunglah modal tamat serta bunga yg didapatkan selepas kurun waktu 6 tahun ?

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp.5.000.000,00
• i = 10%/tahun = 0,1/tahun
• n = 6 tahun

Sehingga;

M_6=Rp.5.000.000,00 (1+0,1)^6

=Rp.5.000.000,00 (1,1)^6

=Rp.5.000.000,00 x 1,771561

=Rp.8.857.805,00

Bunga = Rp.8.857.805,00 – Rp.5.000.000,00 = Rp.3.857.805,00

Maka dr itu, modal final sebesar Rp.8.857.805,00 serta akan mendapatkan bunga sebesar Rp.3.857.805,00.

Atau bunga beragam pula dapat dicari dgn menggunakan rumus:

Mn = M (1+b)ⁿ

b      = j_m/m

Keterangan:

• Mn = merupakan nilai akhir
• M = merupakan nilai pokok permulaan
• n  = merupakan jumlah periode perhitungan bunga
• b  = merupakan tingkat bunga per periode perhitungan bunga
• m = merupakan frekuensi perhitungan bunga
• j_m  = merupakan tingkat bunga nominal dgn periode

  *perhitungan m kali per tahun

Rente

Menyelesaikan perkara rente dlm keuangan

1. Nilai simpulan rente dihitung sesuai dgn jenisnya

Rente merupakan sederetan modal atau angsuran yg nantinya akan dibayarkan atau diterima dlm setiap rentang waktu tertentu yg tetap besarnya.

a. Nilai simpulan Rente Pra Numerando

Na=(M(1+i) 〖((1+i)〗^t-1))/i

Keterangan:

• Na = Nilai simpulan
• M = Modal
• i = suku bunga (%)
• t = periode

Sebagai teladan:

Pada setiap permulaan tahun, Gilang menyimpankan duit pada Bank BC sebesar Rp.1.000.000,00. Apabila bank menawarkan bunga 6%/tahun, maka hitunglah uang Gilang sesudah menabung selama 20 tahun ?

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp.1.000.000,00
• i = 6%/tahun = 0,06/tahun
• t = 20 tahun

Penyelesaian:

Na=(M(1+i) 〖((1+i)〗^t-1))/i

= (1.000.000,00(1+0,06)((〖1+0,06)〗^20-1))/0,06

= (1.000.000,00+60.000,00)(〖1,06〗^20-1)/0,06

= (1.060.000,00 (3,2071-1))/0,06

= (1.060.000,00 (2,2071))/0,06

= 2339563,6005/0,06

=38.992.726,6757

Sehingga, kita pahami besar tabungan Niesa selepas kurun waktu 20 tahun merupakan Rp.38.992.726,6757.

b. Nilai akhir Rente Post Numerando

Na=(M〖((1+i)〗^t-1))/i

Keterangan:

• Na = merupakan nilai selesai
• M = merupakan modal
• i = merupakan suku bunga (%)
• t = merupakan periode

Sebagai pola:

Pada setiap akhir tahun, Setiawan menyimpan uangnya pada Bank Mandiri sebesar Rp.800.000,00 selama kurun waktu 25 tahun.

Apabila bank tersebut memberikan bunga 5%/tahun, maka hitunglah jumlah tabungan Setiawan!

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp.800.000,00
• i = 5%/tahun = 0,05/tahun
• t = 25 tahun

Na=(M〖((1+i)〗^t-1))/i

= (800.000,00 ((1+0,05)^25-1))/0,05

= (800.000,00 (〖1,05〗^25-1))/0,05

= (800.000,00 (3,3863-1))/0,05

= (800.000,00 (2,3863))/0,05

= 1.909.083,9527/0,05

=38.181.679,0543

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar tabungan Setiawan selepas 25 tahun yaitu Rp.38.181.679,05.

2. Nilai tunai rente dihitung sesuai dgn jenisnya

a. Nilai tunai Rente Pra Numerando

Nt=(M(1+i) 〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

Keterangan:

• Nt = Nilai tunai
• M = Modal
• i = suku bunga (%)
• t = periode

Sebagai pola:

Zaidan akan memperoleh beasiswa dlm setiap awal bulan dr PT UNILEVER sejumlah Rp.250.000,00 selama kurun waktu 3 tahun.

Apabila beasiswa tersebut akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama serta dikenai bunga 2%/bulan, maka hitunglah besarnya beasiswa total yg akan diterima Zaidan!

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp.250.000,00
• i = 2%/bulan = 0,02/bulan
• t = 3 tahun = 36 bulan

Nt=(M(1+i) 〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

= (250.000,00 (1+0,02)(1-(1+0,02)^(-36) ))/0,02

= 250.000,00(1,02)(1-(1,02)^(-36) )/0,02

= 250.000,00(1,02)(1-0,49022315)/0,02

= 255.000,00(0,50977685)/0,02

= 6.499.654,83

Sehingga, mampu kita pahami bahwa besar beasiswa yg diterima oleh Zaidan adalah Rp. 6.499.654,83.

b. Nilai tunai Rente Post Numerando

Nt=(M〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

Keterangan:

• Nt = merupakan nilai tunai
• M = merupakan modal
• i = merupakan suku bunga (%)
• t = merupakan periode

Sebagai teladan:

Pada setiap selesai bulan, Yayasan Terkasih memperoleh sumbangan dr Badan Perdamaian Dunia sejumlah Rp.5.000.000,00 selama kurun waktu 3 tahun berturut-turut.

Apabila kemudian sumbangan akan diberikan sekaligus serta dikenai bunga sebesar 2%/bulan, maka hitunglah sumbangan total yg akan diterima oleh Yayasan Terkasih?

Jawab:

• M = Rp.5.000.000,00
• i = 2%/bulan = 0,02/bulan
• t = 3 tahun = 36 bulan

Nt=(M〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

= (5.000.000,00 (1-(1+0,02)^(-36) ))/0,02

= (5.000.000,00 (1-(1,02)^(-36) ))/0,02

= (5.000.000,00 (1-0,49022315))/0,02

= (5.000.000,00 (0,50977685))/0,02

=127.444.212,5

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar sumbangan yg akan diterima oleh Yayasan Terkasih ialah Rp.127.444.212,50.

Anuitas

Rumus Mencari Nilai Anuitas

Dalam mencari nilai anuitas, kita mampu memakai rumus di bawah ini:

AN = M.i/1-(1+i)^-n

Keterangan:

• M = Modal
• i   = Suku bunga

Atau kita pula bisa menggunakan daftar tabel anuitas.

AN = M x daftar abuitas baris ke-n & kolom i%

Adapun rumus kekerabatan anuitas dgn angsuran pertama, yaitu:

AN = A1 x (1+i)ⁿ

Keterangan:

• AN = Anuitas
• A1 = Angsuran Pertama
• i     = Suku Bunga
• n    = Jangka waktu

Sebagai acuan:

Laras bareng suaminya berniat akan mengambil rimah di daerah VILLA INDAH dgn harga Rp.250.000.000,00.

Namun, Laras hanya mempunyai uang paras Rp.100.000.000,00. Sisanya akan di cicil dgn menggunakan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dgn suku bunga 18%/tahun. Maka, hitunglah nilai anuitasnya!

Jawab:

M = 250.000.000 – 100.000.000 = 150.000.000

n   = 10 Tahun

i   = 18%/tahun = 0,18 / tahun

AN = M.i/ 1-(1+i)^-n

AN = 150.000.000 x 0.18 / 1-(1+0,18)^-10

AN = 27.000.000 / 1 – 1,18 ^-10

AN = 27.000.000/0,808935533

AN = 33.377.196,20

Rumus Sisa Pinjaman Anuitas

Terdapat 4 cara dlm mencari sisa perlindungan anuitas, diantaranya yakni:

Cara 1.

Cara atau metode pertama mampu mengguakan rumus di bawah ini:

Sm = B ke ^(m+1)/_i

Keterangan:

• Sm = merupakan sisa bunga ke m
• i = merupakan suku bunga

Cara 2.

Cara atau metode kedua dapat memakai rumus di bawah ini:

Sm = M – ( A1 + A1 x daftar nilai akhir rente kolom i % baris (m-1))

Keterangan:

• Sm = merupakan sisa bunga ke m
• M  = merupakan modal
• A1 = merupakan angusuran pertama

Cara 3.

Cara atau metode ketiga mampu memakai rumus di bawah ini:

Sm  = A1 x [ daftar nilai selesai rente kolom i % baris (n-1) – daftar nilai tamat renre kolom i% baris (m-1)]

Keterangan:

• Sm = merupakan sisa bunga ke m
• A1  = merupakan pertama

Cara 4.

Cara atau metode keempat dapat memakai rumus di bawah ini:

Sm = A x [ daftar nilai tunai rente kolom i% baris (n-m)]

Keterangan:

• Sm = Sisa bunga ke
• AN    = Anuitas

Contoh soal:

Kita akan mengambil teladan dr salah satu cara saja. Yakni dgn cara pertama:

Pinjaman sejumlah  Rp.10.000.000,00 dgn anuitas Rp 510.192,59, akan di lunasi dgn memakai sistem anuitas bulanan yg memiliki suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun.

Maka hitunglah besarnya sisa pinjaman ke 10 bulan!

Jawab:

B1 = M x i

= 10.000.000 x 0,03

= 300.000

A1 = AN-B1

= 510.192,59 – 300.000

= 210.192,59

A11 = A1 ( 1+i)^11-1

= 210.192,59 ( 1+0,03)¹⁰

= 210.192,59  x 1,343916379

= 282.481,26

B11 = AN – A11

= 510.192,59 – 282.481,26

= 227.711,33

S10 = ^B11/_i

= ^227.711,33/_0,03

= 7.590.377,67

Menyelesaikan kasus anuitas dlm sistim tunjangan

1. Anuitas digunakan dlm sistim pertolongan

Anuitas merupakan sejumlah pembayaran yg sama besarnya yg dibayarkan pada setiap rentang waktu tertentu, yg terdiri dr cuilan bunga serta bagian angsuran.

Berikut ini adalah rumus yg biasa digunakan:

A=(M . i)/((〖1-(1+i)〗^(-t)))

A=a_1 x 〖(1+i)〗^t

a_n=a_1 〖(1+i)〗^(t-1)

Keterangan:

• A = merupakan anuitas
• M = merupakan modal / santunan
• i = merupakan suku bunga
• t = merupakan periode
• a1 = merupakan angsuran ke-1

Sebagai acuan:

Sebuah pertolongan sejumlah Rp 10.000.000,- akan dilunasi dlm waktu 3 angsuran dgn memiliki suku bunga 12% pertahun.

Hitunglah besar anuitasnya!

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp 10.000.000,-
• i = 12% = 0,12
• t = 3

Penyelesaian:

A=(M . i)/((〖1-(1+i)〗^(-t) ) )

= (10.000.000 (0,12))/((1-(1+0,12)^(-3) ) )

= 1.200.000/((1-(1,12)^(-3) ) )

= 1.200.000/((1-0,711780))

= 1.200.000/0,28822

= 4.163.483,22

Sehingga, mampu kita pahami bahwa besar anuitasnya perbulan yg harus dibayarkan ialah Rp.4.163.483

2. Anuitas dihitung dlm sistim pertolongan

Menyusun tabel rencana angsuran

Perhatikan acuan problem di bawah ini:

Sebauh pinjaman sejumlah Rp.15.000.00,00 akan dilunasi dlm kurun waktu 11 bulan dgn besaran suku bunga sumbangan 2% per bulan.

Hitunglah besar anuitas serta buatlah tabel rencana angsurannya!

Jawab:

• M = Rp.15.000.000
• i = 2%/bulan = 0.02/bulan
• t = 11 bulan

Dengan memakai rumus anuitas mirip pada acuan sebelumnya, maka akan kita dapatkan besar anuitas sebesar Rp.1.532.669.

Berikutnya akan kita pastikan besar bunga di bulan ke-1 yakni dgn cara mengalikan antara suku bunga dgn besar sumbangan pada bulan ke-1. Yakni = 2% x Rp.15.000.000=Rp.300.000.

Begitu pula selanjutnya untuk besar bunga bulan ke-2, bulan ke-3 …. dst.

Pada angsuran bulan ke-1 akan didapatkan dgn cara mengurangkan antara besar anuitas dgn besar bunga pada bulan ke-1. Yakni = Rp.1.532.669 – Rp.300.000 = Rp.1232.669.

Begitu pula untuk besar angsuran pada bulan berikutnya.

Sisa perlindungan bulan ke-1 ditemukan dgn cara mengurangkan antara besar sumbangan bulan ke-1 dgn besar angsuran bulan ke-1. Yakni= Rp.15.000.000 – Rp.1.232.669 = Rp.13.767.331.

Begitu pula untuk besar sisa pinjaman periode berikutnya.

Besar santunan pada bulan ke-2 ditemukan dr besar sisa derma bulan ke-1.

Begitu pula untuk besar pemberian selanjutnya akan ditemukan dr besar sisa pertolongan pada bulan sebelumnya.

Perhatikan tabel planning angsurannya.

Bulan ke- Pinjaman Anuitas Rp 1,532,669 Sisa Pinjaman

Bunga = 0.02 Angsuran

Jumlah Rp 1,859,361 Rp 15,000,000

Contoh Soal & Pembahasan

Mencari Bunga Majemuk

Soal 1.

Tentukan bunga dr Rp 1.000.000 selama kurun waktu 2 tahun dgn tingkat bunga 10% p.a. Jika bunga dihitung semesteran!

Jawab:

Diketahui:

Mn = M (1+b)ⁿ

b = j_m/m

M =  1.000.000

I   =  10 % : 2 (Semester )= 0,05

n  =  1periode

Mn = 1.000.000 (1+0,05) ¹

Sehingga, total bunga majemuk selama kurun waktu 2 tahun yg dihitung semesteran yaitu Rp 215.506,25,-.

Soal 2.

Tuan Gilang hendak menyimpan uangnya sebesar Rp5.000.000 dlm suatu bank yg memberikan bunga sebesar 18% pertahun, di mana bunga akan dihitung bulanan. Berapa besar bunga yg dihasilkan selama kurun waktu di tahun pertama?

Jawab:

Diketahui:

M= Rp5.000.000

b = 18% / 12 = 1,5% = 0,015

n = 12 periode

Mn = M(1+b)ⁿ

Mn = Rp5.000.000 (1+0,015)¹²

Mn = 5.978.090,857

b  = S – P

b  = Rp5.978.090,857 – Rp5.000.000

b  = Rp 978.090,857

Soal 3.

Berapa nilai S dr P = Rp1.000.000 dgn menggunakan tingkat bunga dihitung semesteran atau j₂ = 18% p.a. selama kuruwn waktu 5 tahun?

Jawab:

Diketahui :

M = Rp1.000.000

b  = 18% / 2 = 9% = 0.09

n  = 5 x 2 = 10 periode

Mn= M (1+b)ⁿ

M = Rp1.000.000 (1+0,09)¹⁰

M = Rp1.000.000 (2,367363675)

M = Rp2.367.363,675

Demikianlah ulasan singkat mengenai Matematika Keuangan yg mampu kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai Matematika Keuangan mampu kalian jadikan selaku materi belajar kalian.